สถานะของระบบกลศาสตร์

ลองพิจารณาลูกตุ้มนาฬิกาในรูปที่ 1 แล้วลองพยายามตอบว่าลูกตุ้มนาฬิกากำลังแกว่งขึ้นหรือลง
แน่นอนจากรูปที่ 1 ไม่มีใครสามารถบอกได้ว่าลูกตุ้มนาฬิกากำลังแกว่งอย่างไร เพราะเรามีข้อมูลไม่เพียงพอ แล้วข้อมูลอะไรบ้างที่เราจำเป็นต้องรู้ เพื่อกำหนดสถานะของระบบทางกลศาสตร์ สิ่งหนึ่งที่เราต้องรู้เพื่อระบุว่าลูกตุ้มนาฬิกากำลังแกว่งอย่างไรนั้น ก็คือ ความเร็วของลูกตุ้มว่ามีทิศทางอย่างไร มีขนาดเท่าไหร่

เพื่อความเข้าใจที่ชัดเจนขึ้น ให้เราพิจารณากฎข้อ 2 ของนิวตันดังนี้ F = m a = p’ โดย F คือแรงที่กระทำบนมวล m ซึ่งจะทำให้เกิดความเร่ง a ส่วน p’ คืออนุพันธ์ของโมเมนตัม p เทียบกับเวลา โดย F = p’ จะใช้ได้กับกรณีที่มวล m ขึ้นกับเวลาได้ เราสามารถหาค่าโมเมนตัมที่เวลาใด ๆ ได้ โดยการอินทิเกรตสองข้างของสมการ F = p’ เทียบกับเวลา ซึ่งผลที่ได้จะขึ้นกับค่าเริ่มต้นของโมเมนตัมและผลการอินทิเกรตแรง F จากเวลาเริ่มต้นถึงเวลาใด ๆ จากผลการคำนวณโมเมนตัมที่เวลาใด ๆ เราสามารถหาตำแหน่งของมวลที่เวลาใด ๆ ได้โดยการอินทิเกรตสองข้างของสมการ p = mx’ เทียบกับเวลาโดย x’ คือ อนุพันธ์เทียบกับเวลาของตำแหน่ง x ของมวล ผลการอินทิเกรตจะขึ้นกับค่าเริ่มต้นของตำแหน่ง x และผลการอินทิเกรตโมเมนตัมจากเวลาเริ่มต้นถึงเวลาใด ๆ จากจุดนี้จะเห็นได้ว่าการแก้สมการการเคลื่อนที่ของนิวตัน เราต้องรู้รูปแบบของสมการการเคลื่อนที่ในรูปของแรง ว่าขึ้นกับตำแหน่งความเร็วและเวลาอย่างไร ซึ่งถ้าเรารู้ว่าระบบของเราเป็นอย่างไรเราก็จะหาแรงลัพธ์ที่ทำต่อระบบได้ ดังนั้นสำหรับระบบที่เราสนใจ สถานะการเคลื่อนที่ของระบบจะขึ้นกับค่าเริ่มต้นของตำแหน่งและโมเมนตัมของมวลที่เวลาหนึ่ง ๆ นั่นคือ ถ้าเรารู้ตำแหน่งและโมเมนตัมของมวลที่เวลาใด ๆ และรู้สมการการเคลื่อนที่ เราก็จะรู้ว่าระบบจะมีการเคลื่อนที่ไปในเวลาต่าง ๆ อย่างไร ข้อสรุปนี้เป็นจริงในกรณีที่แรงลัพธ์ของระบบขึ้นกับความเร็วและตำแหน่งเท่านั้น ในกรณีที่แรงขึ้นกับอนุพันธ์อันดับต่าง ๆ เทียบกับเวลาของความเร็ว ระบบจะเป็นกรณีที่ไม่พบได้โดยทั่วไปในธรรมชาติและต้องมีการพิจารณาบางประเด็นเพิ่มเติม ซึ่งจะยังไม่กล่าวถึงในที่นี้

ในการศึกษาระบบทางกลศาสตร์จึงมีการสร้างกราฟความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งกับโมเมนตัม ในรูปของปริภูมิเฟส (phase space) เพื่อเป็นตัวอย่างเราจะมาศึกษาปริภูมิเฟสของระบบเพนดูลัม (pendulum) ตามรูป 2 จากรูปเราจะให้มุมมีค่าเป็นศูนย์เมื่อมวลอยู่ตำแหน่งต่ำสุด โดยให้มุมมีค่าเป็นบวกเมื่อวัดมุมจากแกนแนวดิ่งไปทางซ้ายและให้มุมมีค่าเป็นลบเมื่อวัดมุมไปทางขวา กำหนดให้ E คือพลังงานรวมของการแกว่ง สำหรับกรณีที่เราให้การแกว่งเริ่มจากตำแหน่งมุมสูงสุด (มุม = 180 องศา) โดยมีความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์ กรณีนี้จะบรรยายได้ด้วยเส้นแดงในรูปที่ 3

ซึ่งรูปที่ 3 นี้แกนตั้งคือ โมเมนตัมเชิงมุมของมวล ซึ่งแปรผันตรงกับความเร็วเชิงมุม ส่วนแกนนอน คือ มุมของการแกว่ง ในกรณีของเส้นสีแดงการแกว่งจะดำเนินได้ครบรอบ ส่วนเส้นเขียวจะเป็นกรณีที่พลังงานรวมเริ่มต้นของการแกว่งน้อยกว่า E โดยพลังงานรวมนี้จะสัมพันธ์กับตำแหน่งของจุดในปริภูมิเฟส เพราะพลังงานรวมโดยทั่วไปจะขึ้นกับตำแหน่งและโมเมนตัม ดังนั้นการกำหนดจุดในปริภูมิเฟสก็คือ การกำหนดพลังงานรวม ซึ่งบริเวณในปริภูมิเฟสที่อยู่นอกวงกลมสีแดงจะมีพลังงานมากกว่า E ในกรณีเส้นสีเขียวการแกว่งจะอยู่ระหว่างมุมค่าหนึ่ง ส่วนเส้นสีฟ้าจะเป็นกรณีที่พลังงานรวมเริ่มต้นของการแกว่งมีค่ามากกว่า E ซึ่งในกรณีนี้การแกว่งจะดำเนินได้หลายรอบ (ซึ่งบรรยายได้ด้วยมุมที่มีขนาดมากกว่า 180 องศา) เนื่องจากโมเมตัมไม่ศูนย์ตลอดการแกว่ง ในกรณีที่การแกว่งมีแรงเสียดทาน ก็จะบรรยายได้ด้วยเส้นสีเหลือง จากเส้นนี้จะเห็นได้ว่ามุมสูงสุดของการแกว่งลดลงเรื่อย ๆ จนเป็น 0 ดังนั้นจากจุดนี้จะเห็นได้ว่าการใช้ปริภูมิเฟส จะบรรยายสถานการณ์เคลื่อนที่ได้สมบูรณ์ นอกจากนี้ขนาดของวงสีเขียวและสีแดง จะแสดงถึงพลังงานรวมของระบบซึ่งในที่นี้มีค่าคงที่

ในลำดับถัดไปเราจะลองใช้ปริภูมิเฟสกับระบบกลศาสตร์ควอนตัมดูบ้าง ก่อนเริ่มพิจารณาขอย้ำอีกทีว่าในระบบกลศาสตร์คลาสสิกที่พิจารณาข้างบน สถานะของระบบสามารถบรรยายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยตำแหน่งและโมเมนตัม แต่ในระบบกลศาสตร์ควอนตัมเรามีหลักความไม่แน่นอน ซึ่งกล่าวว่าผลคูณของความไม่แน่นอนในการระบุ/วัดตำแหน่งและความไม่แน่นอนในการระบุ/วัดโมเมนตัมจะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่าคงที่ของพลังค์หาร สี่พาย(4π) กล่าวคือถ้าเราพยายามวัดโมเมนตัมของอนุภาคให้มีความแม่นยำเพิ่มขึ้น ความแม่นยำในการวัดตำแหน่งจะน้อยลง เช่นในกรณีของอนุภาคอิสระ ซึ่งฟังก์ชันคลื่นมีรูปแบบของคลื่นระนาบ เราสามารถระบุค่าเจาะจงของโมเมนตัมได้ แต่เราจะไม่รู้เลยว่าอนุภาคอยู่ที่ตำแหน่งใด นั่นคือเราไม่สามารถระบุตำแหน่งและโมเมนตัมซึ่งควรเป็นสิ่งที่กำหนดสถานะของการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้อย่างแม่นยำพร้อมกัน ถ้าเราพยายามระบุตำแหน่งและโมเมนตัมของระบบควอนตัมในปริภูมิเฟสเราจะได้ตามรูปที่สี่ จากหลักความไม่แน่นอน เราไม่สามารถแยกความแตกต่างของตำแหน่งและโมเมนตัมที่อยู่ตรงจุดศูนย์กลางของวงสีแดงกับ ตำแหน่งและโมเมนตัมอื่นที่อยู่ในวงสีแดง วงรีสีเขียว และวงรีสีฟ้าได้

คัมภีร์ ค้าแหวน วิทยาลัยเพื่อการค้นคว้าระดับรากฐาน, มหาวิทยาลัยนเรศวร

#ConceptualPhysics #IFNU #ฟิสิกส์มหาวิทยาลัย #UniversityPhysics