สมมาตรและปริมาณอนุรักษ์
พิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดมวลบนแผ่นราบที่ไม่มีแรงเสียดทาน ถ้าแรงลัพธ์ที่กระทำบนจุดมวลเป็นศูนย์ จุดมวลก็จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยโมเมนตัมคงที่ ในที่นี้เราขอเน้นว่าเป็นโมเมนตัมที่คงที่ เพราะถ้าขนาดของมวลมีการเปลี่ยนแปลงตามเวลา อัตราเร็วในการเคลื่อนที่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ ถึงแม้ว่าแรงลัพธ์เป็นศูนย์ ต่อมาถ้าเราสร้างพิกัด 1 เพื่อวัดโมเมนตัมของจุดมวลตามเส้นทางที่จุดหมุนเคลื่อนไป เราจะพบว่าโมเมนตัมของจุดมวลและแรงลัพธ์ที่กระทำต่อจุดมวล (ซึ่งเป็นศูนย์) มีค่าคงที่ ไม่ว่าจุดมวลจะเคลื่อนที่ไปในตำแหน่งใด ๆ ตามเส้นทางการเคลื่อนที่ สิ่งนี้หมายความว่าระบบการเคลื่อนที่นี้มีสมมาตรในการเลื่อนไปตามเส้นตรง การมีสมมาตรก็คือ สภาพการเคลื่อนที่ของระบบซึ่งกำหนดได้ด้วยโมเมนตัมของจุดมวลและแรงลัพธ์ที่กระทำบนจุดมวลไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของจุดมวล จากตัวอย่างง่าย ๆ นี้อาจกล่าวได้ว่า สมมาตรในการเลื่อนไปตามเส้นตรงจะทำให้โมเมนตั้มเชิงเส้นอนุรักษ์ (คงที่)
ต่อมาลองพิจารณาวงแหวนที่หมุนรอบแกนตามรูป 1 ถ้าวงแหวนมีสมมาตรภายใต้การหมุนคือ ไม่ว่าจะหมุนกี่รอบก็มีทอร์ก (torque) ลัพธ์เป็น 0 สิ่งที่ตามมาก็คือ วงแหวนจะหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุมคงที่ไปเรื่อย ๆ นั่นคือโมเมนตัมเชิงมุมของวงแหวนอนุรักษ์เมื่อระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน
ในลำดับต่อไปให้พิจารณาการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ (Projectile) ดังรูป 2 ในขณะที่มวลกำลังเคลื่อนที่แบบนี้ แรงลัพธ์ที่กระทําบนวัตถุตามแนวนอนจะเป็น 0 ดังนั้นโมเมนตัมตามแนวนอนจะอนุรักษ์ ซึ่งการอนุรักษ์โมเมนตัมตามแนวนอนสามารถมองว่าเป็นผลจากการที่ระบบมีสมมาตรภายใต้การเลื่อนไปตามแนวนอน ถ้าพิจารณาการเคลื่อนที่ตามแนวดิ่ง เราจะพบว่าแรงลัพธ์ตามแนวดิ่งไม่ศูนย์แต่มีค่าคงที่ คำถามก็คือ ระบบมีสมมาตรภายใต้การเลื่อนตามแนวดิ่งหรือไม่เพราะแรงลัพธ์ที่กระทำตามแนวดิ่งคงที่ นั่นคือวัตถุยังรู้สึกถึงแรงลัพธ์ในแนวดิ่งเท่าเดิม ถึงแม้ว่าวัตถุจะมีการเคลื่อนที่ไปตามแนวดิ่ง คำตอบคือไม่ เพราะพลังงานศักย์ของวัตถุจะเปลี่ยนไปเมื่อวัตถุมีการเคลื่อนที่ตามแนวดิ่ง ซึ่งสิ่งนี้ทำให้โมเมนตัมตามแนวดิ่งไม่อนุรักษ์
โดยทั่วไปสมมาตรในการเลื่อนไปตามพิกัดใดๆ จะสัมพันธ์กับการที่ลากรางของระบบไม่ขึ้นกับพิกัดนั้น ๆ เช่น ระบบทางกลศาสตร์จะมีสมมาตรภายใต้การเลื่อนไปตามแกน x ถ้าลากรางของระบบไม่ขึ้นกับพิกัด x กล่าวคือ ลากรางจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนไปตามแนวแกน x ซึ่งถ้าใช้สมการพื้นฐานของกลศาสตร์แบบลากรางเราจะพบว่าโมเมนตัมในแนวแกน x จะอนุรักษ์ โดยลากรางของระบบกลศาสตร์ก็คือ พลังงานจลน์รวม ลบพลังงานศักย์รวมของระบบ
ปริมาณอนุรักษ์ของระบบกลศาสตร์ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งคือ พลังงาน โดยทั่วไปถ้าพลังงานอนุรักษ์ระบบจะมีสมมาตรภายใต้การเลื่อนในเวลา พิจารณาการเคลื่อนที่ของแพนดูลัม (Pendulum) ที่มีพลังงานรวมคงที่สมมาตรในการเลื่อนไปในเวลาของระบบนี้คือ การที่อำพนและคาบของการแกว่งไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาที่เปลี่ยนไป
คัมภีร์ ค้าแหวน วิทยาลัยเพื่อการค้นคว้าระดับรากฐาน, มหาวิทยาลัยนเรศวร
#ConceptualPhysics #IFNU #ฟิสิกส์มหาวิทยาลัย #UniversityPhysics
