Authors : Worapat Piensuk and Asst. Prof. Sikarin Yoo-Kong, Ph.D. (IF)
ความสำคัญและที่มา/ Motivation and background
เงื่อนไข “ความสอดคล้องในหลายมิติ” สำหรับระบบอินทีเกรเบิลได้รับความสนใจจากนักวิจัยเป็นอย่างมาก จุดเริ่มต้นของเงื่อนไขนี้มาจากระบบอินทีเกรเบิลไม่ต่อเนื่องซึ่งเงื่อนไขนี้รู้จักกันในชื่อ “ความสอดคล้องรอบลูกบาศก์” อันแสดงให้เห็นว่ามีชุดสมการที่สอดคล้องกันที่นิยามอยู่ในสเปซย่อยของตัวแปรอิสระ และสมการเหล่านี้สามารถถูกเขียนเก็บไว้ได้อย่างสอดคล้องในสเปซหลายมิติ สำหรับระบบที่มีฮามิลโตเนียน เงื่อนไขอินทีเกรบิลิตีของลียูวิวเป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขว้าง และเงื่อนไขสำคัญคือ “ฮามิลโตเนียนคอมมิวติงโฟล” ซึ่งมองได้ว่าเป็นความสอดคล้องในหลายมิติผ่านโครงสร้างวงเล็บปัวซอง อย่างไรก็ดีเงื่อนไขนี้สามารถแสดงผ่านโครงสร้างของลากรางเจียนได้เช่นกันซึ่งรู้จักกันในชื่อ ลากรางเจียนมัลติฟอร์ม และสมการ “ความสัมพันธ์โคลเชอร์” ถือได้ว่าเป็นสิ่งสำคัญอันแสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องในหลายมิติผ่านมุมมองหลักการแปรผันของแอคชัน
In the recent years, the multidimensional consistency feature of integrable systems has been extensively studied by many people in the field. This intriguing feature first arose in the level of discrete integrable systems, namely the consistency around the cube (CAC) such that there exists a set of compatible equations defined in each subspace corresponding to the number of independent variables. This means that it allows us to consistently embed the difference equations in a multidimensional discrete space. In the context of Hamiltonian systems, the Liouville integrability is a natural criterion to test the system in question. The important feature is called the Hamiltonian commuting flows which can be considered as the multidimensional consistency in the level of the Poisson structure. Such consistency can also be captured in the Lagrangian description known as the Lagrangian multi-forms. The main feature for the integrability in this context is called the closure relation which implies the existence of infinite paths on the space of independent variables corresponding to a single path on the space of dependent variables with a critical action.
ระบบปลาทองของคาโลเจอโรนั้นรู้กันดีว่าเป็นระบบอินทีเกรเบิลของหลายอนุภาคในหนึ่งมิติซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขฮามิลโตเนียนคอมมิวติงโฟลและความสัมพันธ์โคลเชอร์ ฮามิลโตเนียนนั้นเขียนอยู่ในรูปเอกซ์โพเนนเชียลของคอนจูเกตโมเมนตัมและสมการการเคลื่อนอยู่ในรูปของสมการจีโอเดสิก ดังนั้นในงานนี้เรามีความสนใจที่เขียนความสอดคล้องในหลายมิติผ่านมุมมองทางเรขาคณิตในรูปของเมตริกเทนเซอร์
The Calogero’s goldfish(GF) systems are well-known integrable one-dimensional many-body systems possessed both Hamiltonian commuting flows and closure relation and Hamiltonians are all written with exponential of conjugate momenta, and their equations of motion are perfectly in a form of geodesic representation. In this work, we would like to capture the multidimensional consistency from the geometrical point of view in terms of the general metric tensors.
ผลสัมฤทธิ์สำคัญ/ Key results
-เราพบว่าลำดับขั้นของฮามิลโตเนียนของระบบปลาทอง(ตระกูลฮามิลโตเนียน)นั้นสามารถเขียนอยู่ในรูปจีโอเดสิกได้หมด
-เราประสบความสำเร็จในการสร้างความสัมพันธ์ที่เรียกว่า “ความสอดคล้องจีโอเดสิก” อันแสดงถึงความสอดคล้องในหลายมิติผ่านเมตริกเทนเซอร์ผ่านการพิจารณาโครงสร้างปัวซองและหลักการแปรผันของแอคชัน
-การตีความเชิงเรขาคณิตของเงื่อนไขความสอดคล้องจีโอเดสิกนั้นสามารถเทียบเคียงได้กับการขนส่งแบบขนานที่สอดคล้องกันของสนามเวกเตอร์ฮามิลโตเนียนสองตัวที่แตกต่างกัน
– We find that the whole GF Hamiltonian hierarchy can be expressed in terms of the geodesic representation.
– We successfully construct the key equation called the “geodesic compatibility”, captured the multidimensional consistency, from the commuting Poisson structure and from the variational principle.
– The geometrical interpretation of the geodesic compatibility can be viewed the compatible parallel transports of two different Hamiltonian vector fields.
บทความ/ Journal : https://www.sciencedirect.com/…/pii/S0034487721000100
