#ResearchHighlight
🛎 ONE-PARAMETER GENERALISED FISHER INFORMATION MATRIX: ONE RANDOM VARIABLE
📌 Authors: Worachat Bukaew (IF, Naresuan Univ., Thailand) and Sikarin Yoo-Kong (IF, Naresuan Univ., Thailand)
📌 ความสำคัญและที่มา
ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ข้อมูลเข้ามามีบทบาทเป็นองค์ประกอบพื้นฐานสำคัญในการไขกลไกการขีดเส้นใต้ของธรรมชาติ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ได้รับการส่งเสริมเป็นการวัดข้อมูล เช่น เอนโทรปี การวัดมาตรฐานคือเอนโทรปีของ Gibbs-Boltzmann-Shannon ซึ่งเป็นเพียงค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของเอนโทรปีมาตรฐานนี้คือการเพิ่มสำหรับสองระบบที่แยกจากกัน เราสามารถถามได้ว่า “มีรูปแบบอื่นของเอนโทรปีที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหรือไม่” Renyi ได้พบเอนโทรปีรูปแบบใหม่ที่มาพร้อมกับพารามิเตอร์และยังคงมีคุณสมบัติเพิ่มเติม ภายใต้ขีดจำกัดที่เหมาะสมของพารามิเตอร์ เอนโทรปีของ Renyi จะลดลงเหลือ Gibbs-Boltzmann-Shannon Tasllis ค้นพบเอนโทรปีแบบหนึ่งพารามิเตอร์อีกประเภทหนึ่ง อย่างไรก็ตาม เอนโทรปีของแทสลิสไม่เป็นไปตามคุณสมบัติสารเติมแต่งมาตรฐาน อีกครั้ง ภายใต้ขีดจำกัดที่เหมาะสมของพารามิเตอร์ เอนโทรปีของ Tasllis จะกลายเป็น Gibbs-Boltzmann-Shannon ในบริบทของเรขาคณิตสารสนเทศ สามารถใช้เมทริกซ์ Fisher-Rao เพื่อแยกความแตกต่างของจุดสองจุดที่ต่างกัน การวัดระยะทาง บนความน่าจะเป็นที่หลากหลาย เมทริกซ์ Fisher-Rao มาตรฐานนี้มีคุณสมบัติเพิ่มเติมสำหรับสองระบบที่แยกจากกัน ดังที่เรากล่าวไว้ข้างต้น เอนโทรปีสามารถขยายเป็นคลาสหนึ่งพารามิเตอร์ได้ เราสามารถถามตรรกะเดียวกันนี้ได้ว่า “มีเมทริกซ์ Fisher-Rao รูปแบบอื่นหรือไม่” ในกรณีของตัวแปรสุ่มหนึ่งตัวแปร เมทริกซ์ Fisher-Rao หนึ่งพารามิเตอร์สามารถสร้างได้โดยใช้การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันการทำงานในกลศาสตร์คลาสสิกและลากรองจ์ที่ไม่ได้มาตรฐานซึ่งเรียกว่าลากรองจ์แบบทวีคูณ แน่นอน ภายใต้ขีดจำกัดที่เหมาะสมของพารามิเตอร์ เมทริกซ์ Fisher-Rao มาตรฐานจะถูกกู้คืน นอกจากนี้ ถ้าใครทำการขยายอนุกรมตามพารามิเตอร์ จะได้ลำดับชั้นของเมทริกซ์ Fisher-Rao และฟังก์ชันแรกในลำดับชั้นจะเป็นเมทริกซ์ Fisher-Rao มาตรฐาน ที่น่าสนใจ เมทริกซ์ Fisher-Rao พารามิเตอร์เดียวไม่มีคุณสมบัติการเติม ดังนั้นเมทริกซ์ Fisher-Rao พารามิเตอร์เดียวใหม่นี้จึงดูเหมือนว่าจะมีคุณลักษณะเดียวกันกับเอนโทรปีของ Tasllis
📌 ผลสัมฤทธิ์สำคัญ
– One-parameter Fisher-Rao matrix is symmetrical constructed by employing the connection with the action functional and multiplicative Lagrangian
– The generalised Cram er-Rao inequality is derived.
📌 Motivation and background
In recent years, information comes to play as an important basic ingredient in solving the underline mechanism of the nature. Various mathematical tools had been promoted as an information measure such as an entropy. A standard measure is the Gibbs-Boltzmann-Shannon entropy which is nothing but an average of the surprisal of all possible outcomes. One important feature of this standard entropy is an additivity for two separated systems. One can ask “Are there other forms of the entropy equipped with the additive property?” Renyi had found a new form of entropy coming with a parameter and still possessing the additive feature. Under an appropriate limit on the parameter, Renyi’s entropy is reduced to the Gibbs-Boltzmann-Shannon one. Another type of one-parameter entropy was discovered by Tasllis. However, Tasllis’s entropy does not follow a standard additive property. Again, under an appropriate limit on the parameter, Tasllis’s entropy becomes the Gibbs-Boltzmann-Shannon one. In the context of information geometry, the Fisher-Rao matrix can be used to distinguish two different points, a distance measure, on the probability manifold. This standard Fisher-Rao matrix possesses an additive property for two separated systems. As we mentioned above, entropy can be extended to be one-parameter class. One can ask the same logic whether “Is there another form of the Fisher-Rao matrix?” In the case of one random variable, one-parameter Fisher-Rao matrix can be constructed by employing a connection with the action functional in the classical mechanics and non-standard Lagrangian known as the multiplicative Lagrangian. Of course, under an appropriate limit on the parameter, the standard Fisher-Rao matrix is recovered. Furthermore, if one does the series expansion with respect to the parameter, a hierarchy of the Fisher-Rao matrix is obtained and the first function in the hierarchy is indeed the standard Fisher-Rao matrix. Interestingly, one-parameter Fisher-Rao matrix does not possess the additive property. Therefore, this new one-parameter Fisher-Rao matrix seems to share the same feature with the Tasllis’s entropy.
📌 Key results
– One-parameter Fisher-Rao matrix is symmetrical constructed by employing the connection with the action functional and multiplicative Lagrangian
– The generalised Cram er-Rao inequality is derived.
📌 Journal :
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0034487723000113
#IFTHEP #IFNU #PhysicsNaresuan
